Question

18．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，過(guò)E的右焦點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（0，$\sqrt{3}$）的動(dòng)直線l與橢圓E交于的兩點(diǎn)M，N（不是的橢圓頂點(diǎn)）．求證：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-7$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$是定值，并求出這個(gè)定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）過(guò)E的右焦點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，得|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=2…①由離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$…②由①②得a，b，c；
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{3}$；聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$整理得（1+2k²）x²+4$\sqrt{3}$kx+2=0，$△=（4\sqrt{3}k）^{2}-8（1+2{k}^{2}）＞0$，${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{3}k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$，即可進(jìn)行向量運(yùn)算．

解答 解：（Ⅰ）∵過(guò)E的右焦點(diǎn)且垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，∴|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$=2…①
∵離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{2}$…②
由①②得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$．
∴橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（Ⅱ）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直線l的方程為：y=kx+$\sqrt{3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$整理得（1+2k²）x²+4$\sqrt{3}$kx+2=0，
$△=（4\sqrt{3}k）^{2}-8（1+2{k}^{2}）＞0$，
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4\sqrt{3}k}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2}{1+2{k}^{2}}$．，
$\overrightarrow{OM}=（{x}_{1}，{y}_{1}），\overrightarrow{ON}=（{x}_{2}，{y}_{2}）$，
$\overrightarrow{PM}=（{x}_{1}，{y}_{1}-\sqrt{3}），\overrightarrow{PN}=（{x}_{2}，{y}_{2}-\sqrt{3}）$
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-7$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$=-6x₁x₂-6y₁y₂+7$\sqrt{3}$（y₁+y₂）-21
=（-6-6k²）x₁x₂+$\sqrt{3}$k（x₁+x₂）-3=$\frac{（-6-6{k}^{2}）×2}{1+2{k}^{2}}+\frac{-4\sqrt{3}k×\sqrt{3}k}{1+2{k}^{2}}-3=-15$．
：$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$-7$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$是定值-15，

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．