Question

9．平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦，當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí)，兩弦長(zhǎng)之和為6．
（1）求橢圓的方程；
（2）A，B是拋物線C₂：x²=4y上兩點(diǎn)，且A，B處的切線相互垂直，直線AB與橢圓C₁相交于C，D兩點(diǎn)，求弦|CD|的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦，當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí)，兩弦長(zhǎng)之和為6，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx+m，由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4m=0，由此利用韋達(dá)定理、直線垂直推導(dǎo)出直線AB過(guò)拋物線C₁的焦點(diǎn)F，再由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，由此利用弦長(zhǎng)公式能求出弦|CD|的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦，
當(dāng)其中一條弦所在直線斜率為0時(shí)，兩弦長(zhǎng)之和為6，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{2a+\frac{2^{2}}{a}=6}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)直線AB為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4m=0，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4m，
由x²=4y，得${y}^{'}=\frac{x}{2}$，
故切線PA，PB的斜率分別為${k}_{PA}=\frac{{x}_{1}}{2}$，k_PB=$\frac{{x}_{2}}{2}$，
再由PA⊥PB，得k_PA•k_PB=-1，
∴$\frac{{x}_{1}}{2}•\frac{{x}_{2}}{2}=\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{4}=\frac{-4m}{4}=-m=-1$，
解得m=1，這說(shuō)明直線AB過(guò)拋物線C₁的焦點(diǎn)F，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kx-2=0，
∴|CD|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{（4k）^{2}-4（1+2{k}^{2}）•（-2）}}{1+2{k}^{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}•\frac{\sqrt{8（1+4{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$≤3．
當(dāng)且僅當(dāng)k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，
∴弦|CD|的最大值為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查弦長(zhǎng)的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、直線與橢圓位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．