Question

10．證明：lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 由基本不等式，可得$\sqrt{{x}^{4}+1}$≥$\sqrt{2{x}^{2}}$，要證原不等式成立，即證lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，設(shè)f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，x＞0，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求得極大值，且為最大值，即可得證．

解答 證明：∵$\sqrt{{x}^{4}+1}$≥$\sqrt{2{x}^{2}}$，
∴要證lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$，
即證lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
設(shè)f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$，x＞0，
則f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$=$\frac{2-x-{x}^{2}}{2x}$，x＞0，
由f′（x）＞0，得0＜x＜1；由f′（x）＜0，得x＞1，
∴x=1時(shí)，f（x）取得極大值，且為最大值f（1）=0，
即有f（x）=lnx-$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{4}$≤0，
即為lnx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$，
∴l(xiāng)nx-$\frac{1}{4}$x²≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$$\sqrt{{x}^{4}+1}$-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求極值和最值，考查不等式的證明方法：導(dǎo)數(shù)法，借助基本不等式，構(gòu)造函數(shù)是解題的關(guān)鍵．