Question

19．若函數(shù)f（x）在定義域D內(nèi)某區(qū)間1上是增函數(shù)，而F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在1上是減函數(shù)，則稱寒素y=f（x）在1上是“弱增函數(shù)”
（1）請(qǐng)分析判斷函數(shù)f（x）=x-4，g（x）=-x²+4x在區(qū)間（1，2）上是否是“弱增函數(shù)”，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由
（2）若函數(shù)h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b（θ，b是常數(shù)），在（0，1]上是“弱增函數(shù)”，請(qǐng)求出θ及b應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，判斷f（x）、g（x）在（1，2）上是否滿足條件即可；
（2）根據(jù)“弱增函數(shù)”的定義，得出①h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，$\frac{h（x）}{x}$在（0，1）上是減函數(shù)，列出不等式組，求出b與θ的取值范圍．

解答 解：（1）由于f（x）=x-4在（1，2）上是增函數(shù)，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=1-$\frac{4}{x}$在（1，2）上也是增函數(shù)，
所以f（x）=x-4在（1，2）上不是“弱增函數(shù)”…（2分）
g（x）=-x²+4x在（1，2）上是增函數(shù)，但$\frac{g（x）}{x}$=-x+4在（1，2）上是減函數(shù)，
所以g（x）=-x²+4x在（1，2）上是“弱增函數(shù)”…（4分）
（2）設(shè)h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b（θ、b是常數(shù)）在（0，1）上是“弱增函數(shù)”，
則①h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b在（0，1）上是增函數(shù)，
由h（x）=x²-（sinθ-$\frac{1}{2}$）x-b在（0，1）上是增函數(shù)得$\frac{sinθ-\frac{1}{2}}{2}$≤0，…（6分）
∴sinθ≤$\frac{1}{2}$，θ∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）；   …（8分）
②H（x）=$\frac{h（x）}{x}$=x-$\frac{x}$+$\frac{1}{2}$-sinθ在（0，1）上是減函數(shù)，
記G（x）=x-$\frac{x}$，在（0，1）上任取0＜x₁＜x₂≤1，
則G（x₁）-G（x₂）=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）}{{{x}_{1}x}_{2}}$（x₁x₂+b）＞0恒成立，…（11分）
又∵$\frac{{x}_{1}{-x}_{2}}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，∴x₁x₂+b＜0恒成立，
而當(dāng)0＜x₁＜x₂≤1時(shí)，0＜x₁x₂＜1，∴b≤-1；
（如果直接利用雙溝函數(shù)的結(jié)論扣2分）
∴b≤-1；
且θ∈[2kπ-$\frac{7π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）時(shí)，h （x）在（0，1]上是“弱增函數(shù)”．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問(wèn)題，考查了新定義的應(yīng)用問(wèn)題，考查了分析與解決問(wèn)題的能力，是綜合性題目．