Question

5．已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+b
（1）若b=1，函數(shù)h（x）=ln$\frac{f（x）}{x}$（x＞0）在[2，+∞）上遞增，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（2）若a=-1，b=0，定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（x＞0）}\\{f（x）（x≤0）}\end{array}}$，當(dāng)g（x）＜1時(shí)，討論關(guān)于C的方程2g²（x）+2mg（x）+1=0的根的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由題意可得y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），在[2，+∞）上遞增，ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0）＞0在[2，+∞）上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和導(dǎo)數(shù)，解不等式即可得到a的范圍；
（2）求出g（x）的解析式，作出函數(shù)的圖象，令t=g（x），則2t²+2mt+1=0，對t討論，運(yùn)用參數(shù)分離，結(jié)合基本不等式和函數(shù)的單調(diào)性，對m討論，即可得到原方程的根的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）若b=1，函數(shù)h（x）=ln$\frac{f（x）}{x}$（x＞0）=ln（ax-2+$\frac{1}{x}$），
令y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），
由題意可得，y=ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0），在[2，+∞）上遞增，
y′=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
即有a≥$\frac{1}{4}$，
由ax-2+$\frac{1}{x}$（x＞0）＞0在[2，+∞）上恒成立，
即a＞$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=-（$\frac{1}{x}$-1）²+1在[2，+∞）上恒成立，
則a＞1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
則有a＞$\frac{3}{4}$，
即有實(shí)數(shù)a的范圍是（$\frac{3}{4}$，+∞）；
（2）若a=-1，b=0，定義域?yàn)镽的函數(shù)g（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|{lgx}|（x＞0）}\\{f（x）（x≤0）}\end{array}}$，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x＞0}\\{-{x}^{2}-2x，x≤0}\end{array}\right.$，作出g（x）的圖象．
令t=g（x），則2t²+2mt+1=0①
t=0時(shí)，方程①無解，原方程無解；
t≠0，m=-t-$\frac{1}{2t}$②
t＜0時(shí)，m=-t-$\frac{1}{2t}$∈[$\sqrt{2}$，+∞），t=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$取得等號．
m=$\sqrt{2}$時(shí)，方程②一解，原方程一解，
m＞$\sqrt{2}$時(shí)，方程②兩解，原方程兩解，
m＜$\sqrt{2}$時(shí)，方程②無解，原方程無解．
0＜t＜1時(shí)，m=-t-$\frac{1}{2t}$∈[-∞，-$\sqrt{2}$]，
當(dāng)0＜t＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，m=-t-$\frac{1}{2t}$遞增，$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜t＜1時(shí)，m=-t-$\frac{1}{2t}$遞減．
且m（1）═-$\frac{3}{2}$，
即有m＞-$\sqrt{2}$時(shí)，原方程無解；
m=-$\sqrt{2}$或m≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，方程②一解，原方程4解；
-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$時(shí)，方程②兩解，原方程8解．
綜上可得，m=$\sqrt{2}$時(shí)，原方程一解；
m＞$\sqrt{2}$時(shí)，原方程兩解；
-$\sqrt{2}$＜m＜$\sqrt{2}$時(shí)，原方程無解．
m=-$\sqrt{2}$或m≤-$\frac{3}{2}$時(shí)，原方程4解；
-$\frac{3}{2}$＜m＜-$\sqrt{2}$時(shí)，原方程8解．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間，同時(shí)考查函數(shù)和方程的轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵．