Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別在AB₁，BC₁上，且AM=$\frac{1}{3}$AB₁，BN=$\frac{1}{3}$BC₁，則下列結(jié)論：
①AA₁⊥MN　
②A₁C₁∥MN
③MN∥面A₁B₁C₁D₁　
④B₁D₁⊥MN
正確命題的序號(hào)是①③．

Answer 1

分析 由題意在四條棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分別取點(diǎn)G，F(xiàn)，E，H四點(diǎn)，使AG=$\frac{1}{3}$A₁A，BF=$\frac{1}{3}$B₁B，CE=$\frac{1}{3}$C₁C，DH=$\frac{1}{3}$D₁D，得到平面GFEH，則點(diǎn)M，N在與平面A₁B₁C₁D₁平行的平面GFEH中．利用線面垂直的性質(zhì)判斷①正確；利用平行公理判斷②錯(cuò)誤；利用面面平行的性質(zhì)判斷③正確；利用面面平行以及線線垂直的性質(zhì)判斷④錯(cuò)誤．

解答 解；在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的四條棱A₁A，B₁B，C₁C，D₁D上分別取點(diǎn)G，F(xiàn)，E，H四點(diǎn)，
使AG=$\frac{1}{3}$A₁A，BF=$\frac{1}{3}$B₁B，CE=$\frac{1}{3}$C₁C，DH=$\frac{1}{3}$D₁D，連接GF，F(xiàn)E，EH，HG，
∵點(diǎn)M、N分別在AB₁、BC₁上，且AM=$\frac{1}{3}$AB₁，BN=$\frac{1}{3}$BC₁，
∴M在線段GF上，N點(diǎn)在線段FE上．且四邊形GFEH為正方形，平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，∴AA₁⊥平面GFEH，
∵M(jìn)N?平面GFEH，∴AA₁⊥MN，故①正確；
∵A₁C₁∥GE，而GE與MN不平行，∴A₁C₁與MN不平行，故②錯(cuò)誤；
∵平面GFEH∥平面A₁B₁C₁D₁，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A₁B₁C₁D₁，故③正確；
∵B₁D₁∥FH，F(xiàn)H?平面GFEH，MN?平面GFEH，且MN與FH不垂直，∴B₁D₁與MN不垂直，故④錯(cuò)誤．
∴正確命題只有①③．
故答案為：①③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查立體幾何中，線線，線面，面面平行與垂直性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學(xué)生推論能力和空間想象力，屬中檔題．