Question

15．如圖所示，E是正方形ABCD所在平面外一點，E在面ABCD上的正投影F恰在AC上，F(xiàn)G∥BC，AB=AE=2，∠EAB=60°，有以下四個命題：
（1）CD⊥面GEF；
（2）AG=1；
（3）以AC，AE作為鄰邊的平行四邊形面積是8；
（4）∠EAD=60°．
其中正確命題的個數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 連結(jié)EG，通過證明AB⊥平面EFG得出CD⊥平面EFG，在直角三角形AEG中求出AG，EF，求出三角形ACE的面積，根據(jù)AG判斷出F的位置，利用全都三角形判斷∠EAD．

解答 解：連結(jié)EG，
（1）∵EF⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴EF⊥AB，
∵FG∥BC，BC⊥AB，
∴AB⊥FG，
又EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，EF∩FG=F，
∴AB⊥平面EFG，∵AB∥CD，
∴CD⊥平面EFG．故（1）正確．
（2）∵AB⊥平面EFG，
∴AB⊥EG，∵∠EAB=60°，AE=2，
∴AG=$\frac{1}{2}$AE=1，故（2）正確．
（3））∵AG=1=$\frac{1}{2}AB$，∴F為AC的中點．
∵AE=2，AC=$\sqrt{2}AB$=2$\sqrt{2}$，AF=$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}$，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
∴S_△ACE=$\frac{1}{2}AC•EF$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=2，
∴以AC，AE作為鄰邊的平行四邊形面積為2S_△ACE=4，故（3）錯誤；
（4）過F作FM⊥AD于M，則AM=1，
由（1）的證明可知AD⊥平面EFM，故而AD⊥EM，
∴Rt△EAG≌Rt△EAM，
∴∠EAM=∠EAG=60°，故（4）正確．
故選：C

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，屬于中檔題．