Question

3．已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)（1，0）為橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P（2，y₀）為橢圓C上一點(diǎn)，且|PF|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（0，m）的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓設(shè)出橢圓方程，結(jié)合橢圓右焦點(diǎn)坐標(biāo)及右焦半徑公式列式求得a，進(jìn)一步求得b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（0，m）的斜率不存在，則m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．若過(guò)點(diǎn)M（0，m）的直線斜率為k，即：m≠±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，直線AB的方程為y=kx+m．由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，由△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，求得4k²＞m²-3，再利用根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$得到k與m的關(guān)系，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設(shè)橢圓C方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵右焦點(diǎn)為F（1，0），橢圓C上的點(diǎn)P（2，y₀）滿足|PF|=1，
∴a-$\frac{2c}{a}=1$，即$a-\frac{2}{a}=1$，解得a=2，∴b²=a²-c²=3，
橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）若過(guò)點(diǎn)M（0，m）的斜率不存在，則m=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
若過(guò)點(diǎn)M（0，m）的直線斜率為k，
即：m≠±$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，
直線AB的方程為y-m=kx，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=64m²k²-4（3+4k²）（4m²-12），
∵AB和橢圓C交于不同兩點(diǎn)，
∴△＞0，即4k²-m²+3＞0，
∴4k²＞m²-3  ①，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由已知$\overrightarrow{AM}$=3$\overrightarrow{MB}$，
則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8km}{2+4{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$  ②，
$\overrightarrow{AM}=（-{x}_{1}，m-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}，{y}_{2}-m）$，
則-x₁=3x₂  ③，
將③代入②得：-3$（\frac{4km}{3+4{k}^{2}}）=\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，整理得：16m²k²-12k²+3m²-9=0．
∴${k}^{2}=\frac{9-3{m}^{2}}{16{m}^{2}-12}$，代入①式，
得$4{k}^{2}=\frac{9-3{m}^{2}}{4{m}^{2}-3}＞{m}^{2}-3，\frac{4{m}^{2}（{m}^{2}-3）}{4{m}^{2}-3}＜0$，
解得$\frac{3}{4}＜{m}^{2}＜3$．
∴-$\sqrt{3}＜m＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}＜m＜\sqrt{3}$．
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（-$\sqrt{3}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查用待定系數(shù)法求曲線方程的能力，通過(guò)處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．通過(guò)向量與幾何問(wèn)題的綜合，考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化問(wèn)題的能力，探究研究問(wèn)題的能力，并體現(xiàn)了合理消元，設(shè)而不解的代數(shù)變形的思想，是壓軸題．