Question

17．關(guān)于函數(shù)f（x）=xln|x|的五個(gè)命題：
①f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是單調(diào)遞增函數(shù)；
②f（x）只有極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)；
③f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（0，1）；
④函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為x-y+1=0；
⑤函數(shù)g（x）=f（x）-m最多有2個(gè)零點(diǎn)．
其中，是真命題的有①（請(qǐng)把真命題的序號(hào)填在橫線上）．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時(shí)，可得f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減；在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值-$\frac{1}{e}$
又∵函數(shù)f（x）=xln|x|為奇函數(shù)，故其圖象如下，根據(jù)圖象可判定①②③⑤；
④，求得x=1處的切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程，即可判斷；

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，可得f（x）=xlnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1+lnx，
可得f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減；在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增．可得f（x）在x=$\frac{1}{e}$處取得極小值-$\frac{1}{e}$
又∵函數(shù)f（x）=xln|x|為奇函數(shù)，故其圖象如下：

根據(jù)圖象
對(duì)于①，f（x）在區(qū)間（-∞，-$\frac{1}{e}$）上是單調(diào)遞增函數(shù)，故①正確；
對(duì)于②，f（x）有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn)，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，f（x）＞0的解集是（-1，0）∪（1，+∞），故③錯(cuò)；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）在x=1處的切線斜率為1，切點(diǎn)為（1，0），即有切線的方程為y=x-1，故④錯(cuò)；
對(duì)于⑤，函數(shù)g（x）=f（x）-m最多有3個(gè)零點(diǎn)，故錯(cuò)；
故答案為：①

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，同時(shí)考查函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．