Question

7．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值為1．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）如果函數(shù)m（x），n（x）在公共定義域D上，滿足m（x）＜n（x），那么就稱n（x）為m（x）的“線上函數(shù)”，若p（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$，q（x）=$\frac{f（x）}{e+1}$（x＞1），求證：q（x）是p（x）的“線上函數(shù)”．

Answer 1

分析 （1）f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值為1，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）不單調，故有極值點，繼而到函數(shù)的最大值，求出a即可，
（2）分別根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值的關系，求出p（x）和q（x）最值，即可證明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$，x＞0，
∴f′（x）$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$，
∵函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x}$的最大值為1
∴f′（x）$\frac{1-a-lnx}{{x}^{2}}$=0，解得x=e^1-a，此時a≤1
∴f（x）_max=f（e^1-a）=$\frac{1}{{e}^{1-a}}$=1，
解得a=1
（2）由（1）可知q（x）=$\frac{f（x）}{e+1}$=$\frac{1+lnx}{x（e+1）}$，
∴q′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}$＜0在（1，+∞）恒成立，
∴q（x）在（1，+∞）為減函數(shù)，
∴q（x）＜q（1）=$\frac{1}{e+1}$，
∵p（x）=$\frac{2{e}^{x-1}}{（x+1）（x{e}^{x}+1）}$，x＞1，
∴p′（x）=2e^x-1•$\frac{（-2x{e}^{x}+x）}{（x+1）^{2}（x{e}^{x}+1）^{2}}$＞0在（1，+∞）恒成立，
∴p（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴p（x）＞p（1）=$\frac{1}{e+1}$，
∴p（x）＞q（x），
∴q（x）是p（x）的“線上函數(shù)”．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調區(qū)間和極值、最值，考查新定義的理解和運用，注意運用構造函數(shù)法，以及恒成立問題的解法，屬于中檔題．