Question

8．如圖所示，凸五面體ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=$\sqrt{2}$，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（1）若CE=2，求證：
①DF∥平面ABC；
②平面BDE⊥平面BCE；
（2）若二面角E-AB-C為45°，求直線AE與平面BCE所成角．

Answer 1

分析 （1）①取BC作的中點(diǎn)G，連接GF，GA，證明四邊形AGFD為平行四邊形得出DF∥AG，故而DF∥平面ABC；②證明AG⊥平面BCE，得出DF⊥平面BCE，于是平面BDE⊥平面BCE；
（2）連接AE，則∠EAC=45°，由AG⊥平面BCE得出∠AEG為所求角，利用勾股定理計(jì)算AG，AE，即可得出sin∠AEG．

解答 證明：（1）①取BC作的中點(diǎn)G，連接GF，GA，
∴GF為三角形BCE的中位線，
∴GF∥CE，GF=$\frac{1}{2}$CE，
∵DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴DA∥CE，又DA=$\frac{1}{2}$CE，
∴GF∥AD，GF=AD．
∴四邊形GFDA為平行四邊形，
∴AG∥FD，又GA?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．
②∵AB=AC，G為BC的中點(diǎn)，
∴AG⊥BC，
∵CE⊥平面ABC，CE?平面BCE，
∴平面BCE⊥平面ABC，又平面BCE∩平面ABC=BC，AG?平面ABC，
∴AG⊥平面BCE，
∵AG∥FD，
∴FD⊥平面BCE，又FD?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCE．
（2）連接AE．
∵AD⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AD⊥AB，
∵AB=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，∴AC⊥AB，
又AC?平面ACE，AD?平面ACE，AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACE，又AE?平面ACE，
∴AB⊥AE，
∴E-AB-C的平面角為∠EAC=45°，
∴CE=AC=1；
由（1）可知AG⊥平面BCE，∴直線AE與平面BCE所成角為∠AEG．
∵AB=AC=1，AB⊥AC，∴AG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$sin∠AEG=\frac{AG}{AE}=\frac{1}{2}$，∴∠AEG=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行，項(xiàng)目垂直的判定，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．