Question

19．如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=4，點E、F分別在AD、BC上，且AE=1，BF=3，將四邊形AEFB沿EF折起，使點B在平面CDEF上的射影H在直線DE上．
（1）求證：CD⊥BE；
（2）求線段BH的長度；
（3）求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）證明CD⊥平面DBE，即可證明CD⊥BE；
（2）因為線段BE，BF在翻折過程中長度不變，根據勾股定理：$\left\{{\begin{array}{l}{B{E^2}=B{H^2}+E{H^2}}\\{B{F^2}=B{H^2}+F{H^2}=B{H^2}+F{G^2}+G{H^2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5={h^2}+{k^2}}\\{9={2^2}+{h^2}+{{（2-k）}^2}}\end{array}}\right.$，可解得$\left\{{\begin{array}{l}{h=2}\\{k=1}\end{array}}\right.$，即可求線段BH的長度；
（3）求出點A到平面EFCD的距離為$\frac{2}{3}$，而$AF=\sqrt{13}$，即可求直線AF與平面EFCD所成角的正弦值．

解答 （1）證明：由于BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，
又由于CD⊥DE，BH∩DE=H，
∴CD⊥平面DBE，∴CD⊥BE．
（2）解：設BH=h，EH=k，過F作FG垂直ED于點G，
因為線段BE，BF在翻折過程中長度不變，根據勾股定理：$\left\{{\begin{array}{l}{B{E^2}=B{H^2}+E{H^2}}\\{B{F^2}=B{H^2}+F{H^2}=B{H^2}+F{G^2}+G{H^2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{5={h^2}+{k^2}}\\{9={2^2}+{h^2}+{{（2-k）}^2}}\end{array}}\right.$，可解得$\left\{{\begin{array}{l}{h=2}\\{k=1}\end{array}}\right.$，
∴線段BH的長度為2．
（3）解：延長BA交EF于點M，
∵AE：BF=MA：MB=1：3，∴點A到平面EFCD的距離為點B到平面EFCD距離的$\frac{1}{3}$，
∴點A到平面EFCD的距離為$\frac{2}{3}$，而$AF=\sqrt{13}$，
∴直線AF與平面EFCD所成角的正弦值為$\frac{{2\sqrt{13}}}{39}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的證明，考查線面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．