Question

數列{a_n}滿足a₁=3，an+1=4-

4

an

，
（1）計算a₂，a₃，a₄，并由此猜想通項公式a_n；
（2）用數學歸納法證明（1）的猜想．

Answer 1

分析：（1）由遞推關系a₁=3，a_n+1=4-

4

an

計算可得a₂，a₃，a₄，由此可猜想通項公式a_n；
（2）利用數學歸納法證明即可．

解答：解：（1）∵a₁=3=

6

2

，a_n+1=4-

4

an

，
∴a₂=4-

4

a1

=4-

4

3

=

8

3

；
a₃=4-

4

a2

=4（1-

3

8

）=

10

4

，
a₄=4（1-

1

a3

）=4（1-

4

10

）=

12

5

．
由此猜想通項公式a_n=

2n+4

n+1

；
（2）下面用數學歸納法證明a_n=

2n+4

n+1

．
證明：1°當n=1時，a₁=

6

2

=3，等式成立；
2°假設n=k時，a_k=

2k+4

k+1

，
則n=k+1時，
a_k+1=4-

4

ak

=4（1-

1

ak

）
=4（1-

k+1

2k+4

）
=4×

k+3

2k+4

=

2k+6

k+2

=

2(k+1)+4

(k+1)+1

，即n=k+1時等式也成立．
綜合1°，2°知，對任意正整數n，a_n=

2n+4

n+1

．

點評：本題考查數學歸納法，考查歸納推理與證明，猜想出a_n=

2n+4

n+1

是關鍵，屬于中檔題．