Question

19．已知F是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點，過點F作斜率為2的直線l使它與圓x²+y²=b²相切，則橢圓離心率是$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 用點斜式求得直線l的方程為2x-y-2c=0．再根據(jù)圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑b，求得 b²=$\frac{4}{5}$c²．再根據(jù)a²-b²=c²，求得離心率 $\frac{c}{a}$的值．

解答 解：設橢圓的右焦點為F（-c，0），c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，∵直線PF的斜率為2，
則直線l的方程為y-0=2（x-c），即 2x-y-2c=0．
再根據(jù)直線l與圓x²+y²=b²相切，可得圓心（0，0）到直線l的距離等于半徑b，
即 $\frac{|2c|}{\sqrt{4+1}}$=b，求得 b²=$\frac{4}{5}$c²．
再根據(jù)a²-b²=c²，可得a²-$\frac{4}{5}$c²=c²，求得$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題主要考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，直線和圓相切的性質，屬于基礎題．