Question

【題目】如圖，在四棱錐中， 平面，為直角，，，分別為的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）若，求二面角.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與證明，往往從兩個(gè)方面進(jìn)行，一是從平幾知識(shí)，如矩形得ABBF，二是從立幾知識(shí)，如從面面垂直出發(fā)，得線面垂直，再得線線垂直（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)題意確定空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出面的法向量，再根據(jù)空間向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角之間關(guān)系求二面角

試題解析：（Ⅰ）證：由已知DF∥AB且DAB為直角，故ABFD是矩形，

從而ABBF．

又PA底面ABCD, ∴平面PAD平面ABCD，

∵ABAD，故AB平面PAD,∴ABPD，

在ΔPCD內(nèi)，E、F分別是PC、CD的中點(diǎn)，EF//PD， ∴ ABEF．

由此得平面．

（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP為x軸,y軸,z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，

則

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

則 可取

設(shè)二面角EBDC的大小為，則

=，

所以，