【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為，直線l的方程為：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于、兩點

①若線段中點的橫坐標為，求斜率的值；

②已知點，求證：為定值

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（1），（2）定值為

【解析】

試題(1)橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形,可以看作是以長為底邊，高為的等腰三角形，故面積為，從而可以列出等式，又由離心率得及，可解出，從而求出橢圓的方程 （2）直線和橢圓相交，其方程聯(lián)立方程組，消去，可得關于的二次方程，利用韋達定理可得，這就是相交弦的中點的橫坐標，從而求出，把用坐標表示出來，借助（1）中的二次方程得出的代入，就可證明出定值

試題解析：（Ⅰ）因為滿足，， 2分

，解得，，

則橢圓方程為.

（Ⅱ）（1）設，將代入并化簡得

，

則是上述方程的解

，

因為的中點的橫坐標為，所以，解得.

（2）由（1），，

，為定值

練習冊系列答案
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年齡

人數(shù)

100

150

200

50

已知，，三個年齡段的上網購物的人數(shù)依次構成遞減的等比數(shù)列.

（1）求的值；

（2）若將年齡在內的上網購物者定義為“消費主力軍”，其他年齡段內的上網購物者定義為“消費潛力軍”.現(xiàn)采用分層抽樣的方式從參與調查的1000位上網購物者中抽取5人，再從這5人中抽取2人，求這2人中至少有一人是消費潛力軍的概率.

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