Question

8．?dāng)?shù)列{a_n}滿足lg2^a_n=lg4${\;}^{\sqrt{{a}_{n-1}}}$+1，a₁=1
（1）求{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）求1+5+9+13+…+（8n-7）=（4n-3）（2n-1）．．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，構(gòu)造等差數(shù)列，即可求{a_n}通項(xiàng)公式．
（2）根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，確定數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差d=4的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵lg2^a_n=lg4${\;}^{\sqrt{{a}_{n-1}}}$+1，
∴2^a_n=10•2^a_n-1，
則$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{{2}^{{a}_{n-1}}}={2}^{{a}_{n}-{a}_{n-1}}=10$，
則a_n-a_n-1=log₂10，
則數(shù)列{a_n}是公差為log₂10的等差數(shù)列，
則{a_n}通項(xiàng)公式為a_n=1+log₂10（n-1）．
（2）1+5+9+13+…+（8n-7）=1+5+9+13+…+[4（2n-1）-3]，
則所求的數(shù)列之和為首項(xiàng)為1，公差d=4的等差數(shù)列的前2n-1項(xiàng)和，
故S=$\frac{1+8n-7}{2}×（2n-1）$=（4n-3）（2n-1）．
故答案為：（4n-3）（2n-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和的計(jì)算，根據(jù)條件構(gòu)造等差數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵．