Question

16．已知f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²，其中x＞0，a∈R，存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，求a的值．

Answer 1

分析 把f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²看作是動(dòng)點(diǎn)P（x，lnx²）與動(dòng)點(diǎn)Q（a，2a）之間距離的平方，然后把存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$轉(zhuǎn)化為直線y=2x與曲線y=2lnx上點(diǎn)的距離的最小值小于等于$\frac{4}{5}$，再利用導(dǎo)數(shù)得答案．

解答 解：f（x）=（x-a）²+（lnx²-2a）²可以看作是動(dòng)點(diǎn)P（x，lnx²），與動(dòng)點(diǎn)Q（a，2a）之間距離的平方，
動(dòng)點(diǎn)P在函數(shù)y=2lnx的圖象上，Q在直線y=2x上，
問題存在x₀使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，轉(zhuǎn)化為求直線y=2x上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，
對(duì)函數(shù)y=2lnx求導(dǎo)，得${y}^{′}=\frac{2}{x}$，
由$\frac{2}{x}=2$，解得x=1，此時(shí)直線y=2x與曲線y=2lnx的切點(diǎn)為（1，0），
∴直線y=2x上的動(dòng)點(diǎn)與曲線y=2lnx上點(diǎn)的最小距離為d=$\frac{|2|}{\sqrt{{2}^{2}+（-1）^{2}}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$f（x）≥\frac{4}{5}$，
根據(jù)題意，要使f（x₀）≤$\frac{4}{5}$，則$f（{x}_{0}）=\frac{4}{5}$，此時(shí)Q恰好為垂足，
即${k}_{PQ}=\frac{2a}{a-1}=-\frac{1}{2}$，解得a=$\frac{1}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了不等式的解法，是中檔題．