Question

11．已知A、B兩點的坐標為（-1，0）、（1，0），點P到A、B兩點的距離比是一個常數a（a＞0），求點P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．

Answer 1

分析 由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=a$可得：$\frac{{\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}=a$，兩邊同時平方并化簡可得（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+a²-1=0，分類討論，判斷軌跡類型．

解答 解：由$\frac{{|{PA}|}}{{|{PB}|}}=a$可得：$\frac{{\sqrt{{{（{x+1}）}^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{{{（{x-1}）}^2}+{y^2}}}}=a$
兩邊同時平方并化簡可得（a²-1）x²+（a²-1）y²-2（a²+1）x+a²-1=0（1）
當a=1時，方程變?yōu)閤=0，表示y軸，是一條直線；
當a≠1時，（1）式兩邊同時除以（a²-1）可得：${x^2}+{y^2}-\frac{{2（{{a^2}+1}）x}}{{{a^2}-1}}+1=0$
配方后為：${（{x-\frac{{{a^2}+1}}{{{a^2}-1}}}）^2}+{y^2}=\frac{{4{a^2}}}{{{{（{{a^2}-1}）}^2}}}$，
表示以$（{\frac{{{a^2}+1}}{{{a^2}-1}}，0}）$為圓心，以$\frac{2a}{{|{{a^2}-1}|}}$為半徑的圓．

點評 本題考查軌跡方程，考查分類討論的數學思想，求出軌跡方程是關鍵．