Question

6．給定集合S={x₁，x₂，…，x_n}（n≥2，x_k∈R且x_k≠0，1≤k≤n），（且），定義點集T={（x_i，x_j）|x_i∈S，x_j∈S}．若對任意點A₁∈T，存在點A₂∈T，使得$\overrightarrow{O{A_1}}•\overrightarrow{O{A_2}}=0$（O為坐標(biāo)原點），則稱集合S具有性質(zhì)P．給出以下四個結(jié)論：
①{-5，5}具有性質(zhì)P；
②{-2，1，2，4}具有性質(zhì)P；
③若集合S具有性質(zhì)P，則S中一定存在兩數(shù)x_i，x_j，使得x_i+x_j=0；
④若集合S具有性質(zhì)P，x_i是S中任一數(shù)，則在S中一定存在x_j，使得x_i+x_j=0．
其中正確的結(jié)論有①③．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論的序號）

Answer 1

分析 利用集合S具有性質(zhì)P的概念，{-5，5}-5，5與{-2，1，2，4}分析判斷即可；
取A₁（x_i，x_i），集合S具有性質(zhì)P，故存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算整理即可證得x_i+x_j=0；數(shù)列{x_n}中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；

解答 解：集合S具有性質(zhì)P，若A₁（-5，5），則A₂（5，5），若A₁（-5，-5）則A₂（5，-5），均滿足OA₁⊥OA₂，所以①具有性質(zhì)P，故①正確；
對于②，當(dāng)A₁（-2，3）若存在A₂（x，y）滿足OA₁⊥OA₂，即-2x+3y=0，即$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}$，集合S中不存在這樣的數(shù)x，y，因此②不具有性質(zhì)P，故②不正確；
取A₁（x_i，x_i），又集合S具有性質(zhì)P，所以存在點A₂（x_i，x_j）使得OA₁⊥OA₂，即x_ix_i+x_ix_j=0，又x_i≠0，所以x_i+x_j=0，故③正確；
由③知，集合S中一定存在兩項x_i，x_j使得x_i+x_j=0；
假設(shè)x₂≠1，則存在k（2＜k＜n，k∈N^*）有x_k=1，所以0＜x₂＜1．
此時取A₁（x₂，x_n），集合S具有性質(zhì)P，所以存在點A₂（x_i，x_s）使得OA₁⊥OA₂，
所以x₂x_i+x_nx_s=0；只有x₁，所以當(dāng)x₁=-1時x₂=x_nx_s＞x_s≥x₂，矛盾，∴x_i是S中任一數(shù)，則在S中一定存在x_j，使得x_i+x_j=0．故④不正確；
故答案為：①③

點評 考查新概念的理解與應(yīng)用，突出考查抽象思維與反證法的綜合應(yīng)用，屬于難題．