Question

13．某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD-EFQH材料切割成三棱錐H-ACF．
（Ⅰ）若點M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點，點G是NK上的任意一點，求證：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原長方體材料中，AB=2，AD=3，DH=1，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高；甲工程師先求出AH所在直線與平面ACF所成的角θ，再根據(jù)公式h=AH•sinθ求三棱錐H-ACF的高h(yuǎn)．請你根據(jù)甲工程師的思路，求該三棱錐的高．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，然后證明平面MNK∥平面ACF，最后證明MG∥面ACF．
（Ⅱ）分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．求出平面ACF的一個法向量求出向量$\overrightarrow{AH}$與平面ACF的一個法向量的正弦函數(shù)值，然后求解三棱錐H-ACF的高即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK?平面ACF，AF?平面ACF，
∴MK∥平面ACF，同理可證MN∥平面ACF，
∵MN，MK?平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊆面MNK，∴MG∥面ACF．…（6分）
（Ⅱ）解：分別以DA，DC，DH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
則有A（3，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（3，2，1），H（0，0，1），…（7分）
$\overrightarrow{AC}=（-3，2，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，2，1）$，$\overrightarrow{AH}=（-3，0，1）$，
設(shè)平面ACF的一個法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
則有$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=-3x+2y=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AF}=2y+z=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{2}{3}y\\ z=-2y\end{array}\right.$，令y=3，則$\overrightarrow n=（2，3，-6）$，…（9分）
∴$sinθ=|\frac{{\overrightarrow{AH}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{AH}||\overrightarrow n|}}|=\frac{12}{{7•\sqrt{10}}}=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}$，…（11分）

∴三棱錐H-ACF的高為$AH•sinθ=\frac{{6\sqrt{10}}}{35}•\sqrt{10}=\frac{12}{7}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定定理以及平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，幾何體中點、線、面距離的求法，考查空間想象能力以及計算能力．