Question

如圖，有一張長為8，寬為4的矩形紙片ABCD，按如圖所示方法進(jìn)行折疊，使每次折疊后點(diǎn)B都落在AD邊上，此時記為B′（注：圖中EF為折痕，點(diǎn)F也可落在CD邊上）過點(diǎn)B′作B′T∥CD交EF于點(diǎn)T，求點(diǎn)T的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：以邊AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB邊所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，因為|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，根據(jù)拋物線的定義，T點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)B為焦點(diǎn)，AD為準(zhǔn)線的拋物線的一部分，利用|AB|=4，即定點(diǎn)B到定直線AD的距離為4，可得結(jié)論．

解答： 解：如圖，以邊AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，AB邊所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（0，-2）．
因為|BT|=|B′T|，B′T⊥AD，根據(jù)拋物線的定義，T點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)B為焦點(diǎn)，AD為準(zhǔn)線的拋物線的一部分．
設(shè)T（x，y），由|AB|=4，即定點(diǎn)B到定直線AD的距離為4．
所以拋物線的方程為x²=-8y．
在折疊中，線段AB′長度|AB′|在區(qū)間[0，4]內(nèi)變化，而x=|AB′|，所以0≤x≤4．
故點(diǎn)T的軌跡方程為x²=-8y（0≤x≤4）．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．