Question

9．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}kx+2，x≤0\\ lnx，x＞0\end{array}$，若關(guān)于x的方程|f（x）|-e^-x-2=0有3個(gè)不同的根，則非正實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． {-e}
• C． （-∞，-e]
• D． （-e，0]

Answer 1

分析 利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 解：由|f（x）|-e^-x-2=0得|f（x）|=e^-x+2，
設(shè)g（x）=e^-x+2，
作出函數(shù)g（x）和f（x）的圖象如圖：
當(dāng)x＞0時(shí)，|f（x）|=e^-x+2有兩個(gè)不同的根，
要使x的方程|f（x）|-e^-x-2=0有3個(gè)不同的根，
則等價(jià)為當(dāng)x≤0時(shí)，方程，|f（x）|=e^-x+2有1個(gè)根，
∵k≤0，
∴由kx+2=0得x=-$\frac{2}{k}$＞0，
即當(dāng)x≤0時(shí)，y=kx+2與g（x）=e^-x+2相切即可，
設(shè)切點(diǎn)為（a，e^-a+2），則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=-e^-x，
則切線斜率k=-e^-a，
則切線方程為y-（e^-a+2）=-e^-a（x-a），
即y=（e^-a+2）-e^-a（x-a），即y=-e^-ax+（a+1）e^-a+2，
∵y=kx+2，
∴k=-e^-a，（a+1）e^-a+2=2，
得（a+1）e^-a=0，則a=-1，k=-e，
非正實(shí)數(shù)k的取值范圍是{-e}，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷和應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．