Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于點E，點D在AB上，DE⊥EB，且AD=2$\sqrt{3}$，AE=6
（1）證明：直線AC與△BDE的外接圓相切；
（2）求EC的長．

Answer 1

分析 （1）取BD的中點為O，連接OE，由角平分線的定義和兩直線平行的判定和性質(zhì)，結(jié)合圓的切線的定義，即可得證；
（2）設(shè)△BDE的外接圓的半徑為r，運用直角三角形的勾股定理，和直角三角形的性質(zhì)，即可得到所求EC的長．

解答 解：（1）證明：取BD的中點為O，連接OE，
由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠OBE，
又DE⊥EB，即有OB=OE，可得∠OBE=∠BEO，
可得∠CBE=∠BEO，即有BC∥OE，
可得∠AEO=∠C=90°，
則直線AC與△BDE的外接圓相切；
（2）設(shè)△BDE的外接圓的半徑為r，
在△AOE中，OA²=OE²+AE²，
且$AD=2\sqrt{3}，AE=6$
即（r+2$\sqrt{3}$）²=r²+6²，
解得r=2$\sqrt{3}$，OA=4$\sqrt{3}$，
由OA=2OE，可得∠A=30°，∠AOE=60°，
可得∠CBE=∠OBE=30°，BE=2rsin60°=$\sqrt{3}$r，
則EC=$\frac{1}{2}$BE=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$r=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=3．

點評 本題考查圓的切線的定義，內(nèi)角平分線的定義和勾股定理的運用，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．