Question

已知點(diǎn)A（6，3）和F（3，0），M為橢圓上的點(diǎn)，則5|MF|-3|MA|的最大值為_(kāi)_______．

Answer 1

7
分析：先計(jì)算橢圓的離心率、右準(zhǔn)線方程，再利用橢圓的第二定義，將所求最大值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求M到右準(zhǔn)線的距離減M到定點(diǎn)A的距離的最大值，最后數(shù)形結(jié)合找到M的位置，求得最值
解答：∵橢圓方程為，∴a=5，b=4，∴c=3
∴F（3，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，橢圓的離心率e==，右準(zhǔn)線方程為x==
設(shè)M到右準(zhǔn)線x=的距離為d，則，即d=|MF|
∴5|MF|-3|MA|=3（|MF|-|MA|）=3（|MF|-|MA|）=3（d-|MA|）
而由圖可知，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A共線時(shí)，d-|MA|取得最大值為點(diǎn)A到右準(zhǔn)線的距離-6=
∴5|MF|-3|MA|=3（d-|MA|）的最大值為3×=7
故答案為 7
點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的第二定義的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化化歸和數(shù)形結(jié)合的思想方法