Question

2．已知直線l：y=3x和點P（8，3），點Q為第一象限內的點，且在直線l上，直線PQ交x軸正半軸于點M，求△OMQ的面積S的最小值．（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 設點Q（a，3a），a＞0，點M坐標為（b，0），b＞0，則直線PQ的斜率為$\frac{3a-3}{a-8}=\frac{-3}{b-8}$，解得b的值，求得M的坐標，表示出△OMQ的面積，利用判別式大于或等于零求出S的最小值即可．

解答 解：設點Q（a，3a），a＞0，點M坐標為（b，0），b＞0，
則直線PQ的斜率為$\frac{3a-3}{a-8}=\frac{-3}{b-8}$，解得b=$\frac{7a}{a-1}$，
∴M的坐標為（$\frac{7a}{a-1}$，0），
故△OMQ的面積S=$\frac{1}{2}$×$\frac{7a}{a-1}$×3a=$\frac{21{a}^{2}}{2a-2}$，
即21a²-2Sa+2S=0．
由題意可得方程21a²-2Sa+2S=0有解，
故判別式△=4S²-168S≥0，即S≥42，
故△OMQ的面積S的最小值等于42．

點評 本題主要考查直線的一般式方程的應用，直線的斜率公式，一元二次方程有解的條件，屬于中檔題．