Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²-bx，若x=1是f（x）的極大值點，則a的取值范圍為（　�。�

• A． （-1，0）
• B． （-1，+∞）
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的f（x）的定義域，f'（x），由f'（1）=0，得b=1-a，通過討論a的范圍，去掉函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合已知條件求出a的取值范圍即可．

解答 解：f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=$\frac{1}{x}$-ax-b，由f'（1）=0，得b=1-a．
所以f'（x）=$\frac{-（ax+1）（x-1）}{x}$．
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
當(dāng)0＜x＜1時，f'（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時，f'（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減．
所以x=1是f（x）的極大值點．
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=-$\frac{1}{a}$．
因為x=1是f（x）的極大值點，所以-$\frac{1}{a}$＞1，解得-1＜a＜0．
綜合①②：a的取值范圍是a＞-1．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性、極值等知識點的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．