Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且短軸長為2．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l：y=x+$\sqrt{2}$與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△AOB的面積．

Answer 1

分析 （1）由b=1，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$及a²=b²+c²，即可求得a和c的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，根據(jù)弦長公式及點(diǎn)到直線的距離公式，代入三角形面積公式即可求得△AOB的面積．

解答 解：（1）短軸長2b=2，b=1，
$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（2分）
又a²=b²+c²，
所以$a=\sqrt{2}，c=1$，
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（5分）
（2）設(shè)直線l的方程為$y=x+\sqrt{2}$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}y=x+\sqrt{2}\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$，消去y得，$3{x^2}+4\sqrt{2}x+2=0$，
由韋達(dá)定理可知：$\left\{\begin{array}{l}{x_1}+{x_2}=\frac{{-4\sqrt{2}}}{3}\\{x_1}•{x_2}=\frac{2}{3}\end{array}\right.$，
由弦長公式可知：丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{4\sqrt{2}}{3}）^{2}-4×\frac{2}{3}}$=$\frac{4}{3}$…（7分）
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式：d=$\frac{丨-\sqrt{2}丨}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=1，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×d×丨AB丨=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4}{3}$=$\frac{2}{3}$，
∴${S_{△AOB}}=\frac{2}{3}$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．