Question

5．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥底面ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD．
（Ⅰ）求證：B₁C∥平面ADD₁A₁；
（Ⅱ）求證：AC⊥B₁D；
（Ⅲ）若AD=2AA₁，判斷直線B₁D與平面ACD₁是否垂直？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先證明BC∥平面ADD₁A₁，CC₁∥平面ADD₁A₁，又BC∩CC₁=C，即可證明平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁，從而可證B₁C∥平面ADD₁A₁．
（Ⅱ）先證明BB₁⊥AC，又AC⊥BD，BB₁∩BD=B，即可證明AC⊥平面BB₁D，從而可證AC⊥B₁D；
（Ⅲ）用反證法，假設B₁D⊥平面ACD₁，由AD₁?平面ACD₁，可得B₁D⊥AD₁，再證明A₁B₁⊥AD₁，即可證明AD₁⊥平面A₁B₁D，從而可得AD₁⊥A₁D，這與四邊形AA₁D₁D為矩形，且AD=2AA₁矛盾，故得證．

解答 （本題滿分為14分）
證明：（Ⅰ）∵AD∥BC，BC?平面ADD₁A₁，AD?平面ADD₁A₁，
∴BC∥平面ADD₁A₁，…（2分）
∵CC₁∥DD₁，CC₁?平面ADD₁A₁，DD₁?平面ADD₁A₁，
∴CC₁∥平面ADD₁A₁，
又∵BC∩CC₁=C，
∴平面BCC₁B₁∥平面ADD₁A₁，…（3分）
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，
∴B₁C∥平面ADD₁A₁．…（4分）
（Ⅱ）∵BB₁⊥平面ABCD，AC?底面ABCD，
∴BB₁⊥AC，…（5分）
又∵AC⊥BD，BB₁∩BD=B，
∴AC⊥平面BB₁D，…（7分）
又∵B₁D?底面BB₁D，
∴AC⊥B₁D；…（9分）
（Ⅲ）結論：直線B₁D與平面ACD₁不垂直，…（10分）
證明：假設B₁D⊥平面ACD₁，
由AD₁?平面ACD₁，可得B₁D⊥AD₁，…（11分）
由棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥底面ABCD，∠BAD=90°，
可得：A₁B₁⊥AA₁，A₁B₁⊥A₁D₁，
又∵AA₁∩A₁D₁=A₁，
∴A₁B₁⊥平面AA₁D₁D，
∴A₁B₁⊥AD₁，…（12分）
又∵A₁B₁∩B₁D=B₁，
∴AD₁⊥平面A₁B₁D，
∴AD₁⊥A₁D，…（13分）
這與四邊形AA₁D₁D為矩形，且AD=2AA₁矛盾，故直線B₁D與平面ACD₁不垂直．…（14分）

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了反證法的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．