Question

17．命題p：sinθ-$\frac{1}{tanθ}$=tanθ-$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜$\frac{π}{4}$）無實(shí)數(shù)解，命題q：e^x+$\frac{1}{lnx}$=lnx+$\frac{1}{{e}^{x}}$無實(shí)數(shù)解．則下列命題為假命題的是（　　）

• A． p或q
• B． （￢p）或（￢q）
• C． p且（￢q）
• D． p且q

Answer 1

分析 分別求出命題p，q的真假，根據(jù)復(fù)合命題真假之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：由sinθ-$\frac{1}{tanθ}$=tanθ-$\frac{1}{sinθ}$得sinθ-$\frac{cosθ}{sinθ}$=$\frac{sinθ}{cosθ}$-$\frac{1}{sinθ}$，
即$\frac{sin^2θ-cosθ}{sinθ}$=$\frac{sin^2θ-cosθ}{sinθcosθ}$，
則sin²θ-cosθ=$\frac{sin^2θ-cosθ}{cosθ}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，∴必有sin²θ-cosθ=0，
即1-cos²θ-cosθ=0，即cos²θ+cosθ-1=0，
則cosθ=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，
∵0＜θ＜$\frac{π}{4}$，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosθ＜1，∴cosθ=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$不成立，
即方程sinθ-$\frac{1}{tanθ}$=tanθ-$\frac{1}{sinθ}$（0＜θ＜$\frac{π}{4}$）無解，故命題p是真命題，
由e^x+$\frac{1}{lnx}$=lnx+$\frac{1}{{e}^{x}}$得x＞0，
且$\frac{{e}^{x}lnx+1}{lnx}$=$\frac{{e}^{x}lnx+1}{{e}^{x}}$，
則當(dāng)e^xlnx+1=0時(shí)，方程成立，
即lnx=-e^x，
作出函數(shù)y=lnx和y=-e^x，的圖象如圖，則兩個(gè)函數(shù)有交點(diǎn)，
即方程e^xlnx+1=0有解，則命題q是假命題，
則p或q為真命題，（￢p）或（-q）為真命題，p且（￢q）為真命題，p且q為假命題．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的判斷，根據(jù)條件求出命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．