Question

已知函數(shù)f（x）=

a

x

+lnx，g（x）=

1

2

bx²-2x+2，a，b∈R．
（Ⅰ）記函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)a=0，h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）記函數(shù)F（x）=|f（x）|，若存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)，求a的取值范圍，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=0時(shí)求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，由h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，得h′（x）=0，即p（x）=bx²-2x+1在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，解得b的取值范圍．
（Ⅱ）確定函數(shù)的單調(diào)性，討論可得只有0＜a＜

1

e

時(shí)直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)．設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為s、t且s＜t，可得l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)分別為直線l與曲線y₁=-

a

x

-lnx，x∈（s，t）和y₂=

a

x

+lnx，x∈（t，+∞）在x∈（t，+∞）的切點(diǎn)．由此結(jié)合直線的斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出關(guān)于a、x₁、y₁、x₂、y₂的關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理可得

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，再令

x1

x2

=k（0＜k＜1），轉(zhuǎn)化為（k²+1）lnk=2k²-2．令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），由根的存在性定理證出：存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0．由此即可得到原命題成立．

解答： 解：（Ⅰ）a=0時(shí)，h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

bx²-2x+2+lnx，
∴h′（x）=

bx2-2x+1

x

，
∵h(yuǎn)（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，
由h′（x）=0，得bx²-2x+1=0；
設(shè)p（x）=bx²-2x+1，
即p（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且p（0）•p（1）＜0，
即（b×0²-2×0+1）（b×1²-2×1+1）＜0，
解得b＜1；
∴h（x）在（0，1）上有且只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，b＜1；
∴b的取值范圍是{b|b＜1}．
（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=

x-a

x2

，
①若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
②若a＞0，令f'（x）=0，得x=a，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＞0．
所以（0，a）為單調(diào)減區(qū)間，（a，+∞）為單調(diào)增區(qū)間．
綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，a），單調(diào)增區(qū)間為（a，+∞）． 
當(dāng)（i）若a≤0，則f'（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，
所以直線l與y=F（x）的圖象不可能有兩個(gè)切點(diǎn)，不合題意．
（ⅱ）若a＞0，f（x）在x=a處取得極值f（a）=1+lna．
若1+lna≥0，a≥

1

e

時(shí)，由圖象知不可能有兩個(gè)切點(diǎn)．
故0＜a＜

1

e

，設(shè)f（x）圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為s，t（不妨設(shè)s＜t），
則直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)即為直線l與y₁=-

a

x

-lnx，x∈（s，t）和y₂=

a

x

+lnx，x∈（t，+∞）的切點(diǎn)．
y₁′=

a-x

x2

，y₂′=-

a-x

x2

，
設(shè)切點(diǎn)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則0＜x₁＜x₂，且

a-x1

x12

=

y1

x1

=-

a

x12

-

lnx1

x1

，

a-x2

x22

=

y2

x2

=

a

x22

+

lnx2

x2

，
∴

2a

x1

=1-lnx₁…①；

2a

x2

=1-lnx₂…②；a=

x1x2(x1+x2)

x12+x22

，③
①-②得：

2a

x1

-

2a

x2

=-lnx₁+lnx₂=-ln

x1

x2

，
由③中的a代入上式化簡(jiǎn)可得：

2(x12-x22)

x12+x22

=ln

x1

x2

，
令

x1

x2

=k（0＜k＜1），則（k²+1）lnk=2k²-2，令G（k）=（k²+1）lnk-2k²+2，（0＜k＜1），
因?yàn)镚（

1

e

）=1-

3

e2

＞0，G（

1

e2

）=-

4

e4

＜0，
故存在k₀∈（0，1），使得G（k₀）=0，
即存在一條過(guò)原點(diǎn)的直線l與y=F（x）的圖象有兩個(gè)切點(diǎn)時(shí)，0＜a＜

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出含有分式和對(duì)數(shù)的基本初等函數(shù)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、討論函數(shù)f（x）+g（x）的極值點(diǎn)并證明了函數(shù)|f（x）|圖象與過(guò)原點(diǎn)的直線相切的問(wèn)題．著重考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、直線的斜率公式和用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象的切線等知識(shí)，屬于難題．