Question

20．是否存在常數(shù)a，b，使等式$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{a{n}^{2}+n}{bn+2}$對于一切n∈N^*都成立？若存在，用數(shù)學(xué)歸納法證明之，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 假設(shè)存在常數(shù)a，b，使等式對于一切n∈N^*都成立．取n=1，2可得a，b的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟是，第一步驗證第一項是否成立，第二步假設(shè)n=k時候結(jié)論成立，去驗證n=k+1時候結(jié)論是否成立．若都成立即得證．

解答 解：若存在常數(shù)a，b，使等式對于一切n∈N^*都成立．
取n=1，2可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}=\frac{a+1}{b+2}}\\{\frac{1}{3}+\frac{4}{15}=\frac{4a+2}{2b+2}}\end{array}\right.$，解得a=1，b=4．
則$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{n}^{2}}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{{n}^{2}+n}{4n+2}$對于一切n∈N^*都成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
（1）當(dāng)n=1時，顯然成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時，等式成立，即$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k-1）（2k+1）}$=$\frac{{k}^{2}+k}{4k+2}$對于一切n∈N^*都成立．
則當(dāng)n=k+1時，$\frac{{1}^{2}}{1×3}$+$\frac{{2}^{2}}{3×5}$+…+$\frac{{k}^{2}}{（2k-1）（2k+1）}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$=$\frac{{k}^{2}+k}{4k+2}$+$\frac{（k+1）^{2}}{（2k+1）（2k+3）}$，
=（k+1）•$\frac{k（2k+3）+2（k+1）}{2（k+1）（2k+3）}$，
=（k+1）•$\frac{（2k+1）（k+2）}{2（2k+1）（2k+3）}$，

=$\frac{（k+1）（k+2）}{2（2k+3）}$，
=$\frac{（k+1）^{2}+（k+1）}{4（k+1）+2}$．
也就是說當(dāng)n=k+1時，等式也成立．
綜上所述：可知等式對于一切n∈N^*都成立．

點評 本題考查歸納推理的應(yīng)用，著重考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運算推理能力，屬于中檔題．