已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B分別是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1 的左、右焦點(diǎn)，三個(gè)內(nèi)角A、B、C滿(mǎn)足sinA-sinB=
1
2
sinC，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（　�。�
分析：利用正弦定理可把sinA-sinB=
1
2
sinC化為|BC|-|AC|=
1
2
|AB|，從而判斷頂點(diǎn)C是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點(diǎn)），根據(jù)已知條件求出相關(guān)量即可求得方程．
解答：解：因?yàn)锳、B是橢圓橢圓
x2
25
+
y2
9
=1 的左、右焦點(diǎn)，所以A（-4，0），B（4，0），
由正弦定理得，
|BC|
sinA
=
|AC|
sinB
=
|AB|
sinC
=2R（R為△ABC外接圓的半徑），
所以由sinA-sinB=
1
2
sinC，得
|BC|
2R
-
|AC|
2R
=
1
2
•
|AB|
2R
，即|BC|-|AC|=
1
2
|AB|=4＜|AB|，
所以頂點(diǎn)C是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支（除掉與x軸的交點(diǎn)），
設(shè)頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（x＜-a），
則a=2，c=4，所以b2=c2-a2=16-4=12，
故頂點(diǎn)C的軌跡方程為
x2
4
-
y2
12
=1(x＜-2)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線方程的求法及正弦定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，本題需注意所求軌跡上的點(diǎn)C為三角形頂點(diǎn)，故與A、B不共線．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-5，0）、（5，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積為-
12
，求頂點(diǎn)C的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（-10，2），B（6，4），垂心是H（5，2），求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A（-5，0），B（5，0），△ABC的第三個(gè)頂點(diǎn)在一條雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1（y≠0）上，則△ABC的內(nèi)心的軌跡所在圖象為（　�。�
A、兩條直線B、橢圓
C、雙曲線D、拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直線的斜率之積等于m（m≠0）．
（1）求頂點(diǎn)C的軌跡E的方程，并判斷軌跡E為何種圓錐曲線；
（2）當(dāng)m=-
12
時(shí)，過(guò)點(diǎn)F（1，0）的直線l交曲線E于M，N兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q（M，Q不重合） 試問(wèn)：直線MQ與x軸的交點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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