【題目】設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形，且MA=MD，MA⊥AB.如果△AMD的面積為1，試求能夠放入這個棱錐的最大球的半徑.

【答案】

【解析】

如圖，因為AB⊥AD，AB⊥MA，所以，AB垂直于平面MAD，

由此知平面MAD垂直平面AC.

設(shè)E是AD的中點，F是BC的中點，則ME⊥AD，所以，ME垂直平面AC，ME⊥EF.

設(shè)球O是與平面MAD，AC，MBC都相切的球.

不失一般性，可設(shè)O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.

設(shè)球O的半徑為r，則.

設(shè)AD=EF=a，因為，所以，

，

且當(dāng)，即時，上式取等號，所以，當(dāng)AD=ME=時，

與三個面MAD，AC，MBC都相切的球的半徑最大，并且這個最大半徑為.

作OG⊥ME于G，易證OG//平面MAB，G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.

過G作MH⊥MA于H，則GH是G到平面MAB的距離.

，，

又，，

,

.

,

故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r，同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r，

故球O在棱錐M-ABCD內(nèi)，并且不可能再大.

據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.

練習(xí)冊系列答案
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