【題目】設(shè)棱錐M-ABCD的底面是正方形,且MA=MD,MA⊥AB.如果△AMD的面積為1,試求能夠放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑.
【答案】
【解析】
如圖,因?yàn)?/span>AB⊥AD,AB⊥MA,所以,AB垂直于平面MAD,
由此知平面MAD垂直平面AC.
設(shè)E是AD的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),則ME⊥AD,所以,ME垂直平面AC,ME⊥EF.
設(shè)球O是與平面MAD,AC,MBC都相切的球.
不失一般性,可設(shè)O在平面MEF上.于是O為△MEF的內(nèi)心.
設(shè)球O的半徑為r,則.
設(shè)AD=EF=a,因?yàn)?/span>,所以,
,
且當(dāng),即時(shí),上式取等號(hào),所以,當(dāng)AD=ME=時(shí),
與三個(gè)面MAD,AC,MBC都相切的球的半徑最大,并且這個(gè)最大半徑為.
作OG⊥ME于G,易證OG//平面MAB,G到平面MAB的距離就是O到平面MAB的距離.
過G作MH⊥MA于H,則GH是G到平面MAB的距離.
,,
又,,
,
.
,
故O到平面MAB的距離大于球O的半徑r,同樣O到面MCD的距離也大于球O的半徑r,
故球O在棱錐M-ABCD內(nèi),并且不可能再大.
據(jù)此可得所求的最大球的半徑為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線M:的左、右頂點(diǎn)分別為A,B,設(shè)P是曲線M上的任意一點(diǎn).
(1)當(dāng)P異于A,B時(shí),記直線PA、PB的斜率分別為、則是否為定值,請(qǐng)說明理由.
(2)已知點(diǎn)C在曲線M長(zhǎng)軸上(異于A、B兩點(diǎn)),且的最大值為7,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:如果數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)均能構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱為三角形”數(shù)列對(duì)于“三角形”數(shù)列,如果函數(shù)使得仍為一個(gè)三角形”數(shù)列,則稱是數(shù)列的“保三角形函數(shù)”.
(1)已知是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,若,是數(shù)列的保三角形函數(shù)”,求的取值范圍;
(2)已知數(shù)列的首項(xiàng)為2019,是數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足,證明是“三角形”數(shù)列;
(3)求證:函數(shù),是數(shù)列1,,的“保三角形函數(shù)”的充要條件是,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)對(duì)一塊邊長(zhǎng)8米的正方形場(chǎng)地ABCD進(jìn)行改造,點(diǎn)E為線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在線段CD或AD上(異于A,C),設(shè)(米),的面積記為(平方米),其余部分面積記為(平方米).
(1)當(dāng)(米)時(shí),求的值;
(2)求函數(shù)的最大值;
(3)該場(chǎng)地中部分改造費(fèi)用為(萬(wàn)元),其余部分改造費(fèi)用為(萬(wàn)元),記總的改造費(fèi)用為W(萬(wàn)元),求W取最小值時(shí)x的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(a∈R).
(1)討論y=f(x)的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,求實(shí)數(shù)a的范圍并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為4的正方形中,半徑為1的動(dòng)圓Q的圓心Q在邊CD和DA上移動(dòng)(包含端點(diǎn)A,C,D),P是圓Q上及其內(nèi)部的動(dòng)點(diǎn),設(shè),則的取值范圍是_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,直線的方程為,直線 的方程為.當(dāng)m變化時(shí),
(1)分別求直線和經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo);
(2)討論直線和的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).M是曲線上的動(dòng)點(diǎn),將線段OM繞O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段ON,設(shè)點(diǎn)N的軌跡為曲線.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(2)在(1)的條件下,若射線與曲線分別交于A, B兩點(diǎn)(除極點(diǎn)外),且有定點(diǎn),求的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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