Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-a|x-1|，若f（x）≤a|x+3|，則a的最小值$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 將意義及條件進行轉(zhuǎn)化，可得a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，再結(jié)合|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，即可求出a的取值范圍，注意等號成立的條件

解答 解：若f（x）≤a|x+3|，則|x+1|-a|x-1|≤a|x+3|，
即|x+1|≤a（|x-1|+|x+3|），
即a≥$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$，
由|x-1|+|x+3|≥2|x+1|，
∴$\frac{|x+1|}{|x-1|+|x+3|}$≤$\frac{|x+1|}{2|x+1|}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當x≥1或x≤-3時取等號，
即a≥$\frac{1}{2}$，則a的取值范圍是a≥$\frac{1}{2}$
即a的最小值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$

點評 本題考查絕對值不等式的應(yīng)用，以及恒成立的問題，考查了學生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題