Question

11．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$
（1）求目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的最大值；
（2）若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)即可得到結(jié)論．
（2）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，推出ab的關(guān)系，然后利用基本不等式求$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值．

解答 解：（1）x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2≥0}\\{8x-y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$的可行域如圖：
當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=3x-y經(jīng)過可行域的A時(shí)，取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{8x-y-4=0}\\{y=0}\end{array}\right.$可得A（$\frac{1}{2}$，0），
目標(biāo)函數(shù)z=3x-y的最大值為：$\frac{3}{2}$；
（2）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為6，
可知目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過可行域的B時(shí)，取得最大值，
$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+2=0}\\{8x-y-4=0}\end{array}\right.$可得B（1，4），
此時(shí)a+4b=6，
即1=$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$，
$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）（$\frac{a}{6}+\frac{2b}{3}$）=$\frac{1}{6}$+$\frac{8}{3}$+$\frac{2a}{3b}+\frac{2b}{3a}$≥$\frac{17}{6}+2\sqrt{\frac{2a}{3b}×\frac{2b}{3a}}$=$\frac{17}{6}+\frac{8}{6}$=$\frac{25}{6}$．
當(dāng)且僅當(dāng)：a=b，a+4b=6時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．考查基本不變的是的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．