Question

3．已知向量$\overrightarrow m=（sinx，-1）$，向量$\overrightarrow n=（\sqrt{3}cosx，-\frac{1}{2}）$，函數(shù)$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m$．
（Ⅰ）求f（x）單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，A為銳角，$a=2\sqrt{3}$，c=4，且f（A）恰是f（x）在$[{0，\frac{π}{2}}]$上的最大值，求A，b，和△ABC的面積S．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用平面向量的運算由已知可求函數(shù)f（x）的解析式，進而利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解．
（Ⅱ）結(jié)合范圍$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，由正弦函數(shù)圖象可求A的值，由余弦定理解得b的值，進而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）∵$f（x）=（\overrightarrow m+\overrightarrow n）•\overrightarrow m={sin^2}x+1+\sqrt{3}sinxcosx+\frac{1}{2}$
=$\frac{1-cos2x}{2}$+1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x+2
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，…（3分）
∴$由2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}（k∈Z），得kπ+\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{5π}{6}（k∈Z）$，
所以：f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：$[{kπ+\frac{π}{3}，kπ+\frac{5π}{6}}]（k∈Z）$．…（5分）
（Ⅱ） 由（1）知：$f（A）=sin（2A-\frac{π}{6}）+2$，
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$時，$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，
由正弦函數(shù)圖象可知，當$2x-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時f（x）取得最大值3，…（7分）
∴$2A-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，$A=\frac{π}{3}$…（8分）
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，得：$12={b^2}+16-2×4b×\frac{1}{2}$，
∴b=2，…（10分）
∴$S=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×2×4sin{60^0}=2\sqrt{3}$．…（12分）

點評 本題主要考查了平面向量的運算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．