Question

對于數列，定義“變換”：將數列變換成數列，其中，且.這種“變換”記作.繼續(xù)對數列進行“變換”，得到數列，依此類推，當得到的數列各項均為時變換結束．

（Ⅰ）試問經過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“變換”得到的各數列；若不能，說明理由；

（Ⅱ）設，．若，且的各項之和為．

（ⅰ）求，；

（ⅱ）若數列再經過次“變換”得到的數列各項之和最小，求的最小值，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）解：數列不能結束，各數列依次為；；；；；…．

以下重復出現，所以不會出現所有項均為的情形．             ………3分

（Ⅱ）解：（�。┮驗�的各項之和為，且， 所以為的最大項，

    所以最大，即，或．  …………5分

      當時，可得

      由，得，即，故．…7分

      當時，同理可得 ，．     ………8分         

（ⅱ）方法一：由，則經過次“變換”得到的數列分別為：；；；；；．

由此可見，經過次“變換”后得到的數列也是形如“”的數列，與數列“結構”完全相同，但最大項減少12．

因為，

所以，數列經過次“變換”后得到的數列為．

接下來經過“變換”后得到的數列分別為：；；；；；

；，……

從以上分析可知，以后重復出現，所以數列各項和不會更小．

所以經過次“變換”得到的數列各項和最小，的最小值為．

                                           ……………13分

方法二：若一個數列有三項，且最小項為，較大兩項相差，則稱此數列與數列 “結構相同”．

若數列的三項為，則無論其順序如何，經過“變換”得到的數列的三項為(不考慮順序) ．

所以與結構相同的數列經過“變換”得到的數列也與結構相同，除外其余各項減少，各項和減少．

因此，數列經過次“變換”一定得到各項為 (不考慮順序)的數列．

通過列舉，不難發(fā)現各項為的數列，無論順序如何，經過“變換”得到的數列會重復出現，各項和不再減少．

所以，至少通過次“變換”，得到的數列各項和最小，故的最小值為．

                                          ……………13分

【解析】略