對(duì)于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且,這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”,得到數(shù)列,…,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束.

(Ⅰ)試問經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;

(Ⅱ)求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件;

(Ⅲ)證明:一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束.

 

【答案】

(Ⅰ)解:數(shù)列不能結(jié)束,各數(shù)列依次為;;;;;….從而以下重復(fù)出現(xiàn),不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形.        ……2分

數(shù)列能結(jié)束,各數(shù)列依次為;

                                              ……………3分

(Ⅱ)解:經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是.……4分

,則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列,從而結(jié)束.……5分

當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí),先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列,則為常數(shù)列”.

當(dāng)時(shí),數(shù)列

由數(shù)列為常數(shù)列得,解得,從而數(shù)列也為常數(shù)列.

其它情形同理,得證.

在數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束時(shí),得到數(shù)列(常數(shù)列),由以上命題,它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列,可知數(shù)列也為常數(shù)列.          ………8分

所以,數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是

(Ⅲ)證明:先證明引理:“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng),其中”.

證明:記數(shù)列中最大項(xiàng)為,則

,,其中

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260126050115370390_DA.files/image029.png">,  所以,

,證畢.                     ……………9分

現(xiàn)將數(shù)列分為兩類.

第一類是沒有為的項(xiàng),或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰(規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰),此時(shí)由引理可知,.      

第二類是含有為的項(xiàng),且與最大項(xiàng)相鄰,此時(shí)

下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”,一定可以得到第一類數(shù)列.

不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為,第二項(xiàng)最大().(其它情形同理)

① 當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí),

(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列;

,則;此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列;

(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列;

,則;,

此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列.

② 當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí),若(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列;

(),則,,此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列.

③ 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí),只能是,則,

,,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列.

總之,第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”,就會(huì)得到第一類數(shù)列,即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”,數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少.

又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù),

故經(jīng)過有限次“變換”后,數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為,此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為,從而結(jié)束.                 ………………13分

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于數(shù)列A:a1,a2,…,an,若滿足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T,T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0,1,原有的每個(gè)0都變成1,0.例如A:1,0,1,則T(A):0,1,1,0,0,1.設(shè)A0是“0-1數(shù)列”,令A(yù)k=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(1)若數(shù)列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.則數(shù)列A0
1,0,1
1,0,1
;
(2)若A0為0,1,記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為lk,k=1,2,3,…,則l2n關(guān)于n的表達(dá)式.是
l2n=
1
3
(4n-1)
l2n=
1
3
(4n-1)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對(duì)于數(shù)列A:a1,a2,…,an,若滿足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),則稱數(shù)列A為“0-1數(shù)列”.定義變換T,T將“0-1數(shù)列”A中原有的每個(gè)1都變成0,1,原有的每個(gè)0都變成1,0.例如A:1,0,1,則T(A):0,1,1,0,0,1.設(shè)A0是“0-1數(shù)列”,令A(yù)k=T(Ak-1),k=1,2,3,…
(Ⅰ) 若數(shù)列A2:1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1.求數(shù)列A1,A0;
(Ⅱ) 若數(shù)列A0共有10項(xiàng),則數(shù)列A2中連續(xù)兩項(xiàng)相等的數(shù)對(duì)至少有多少對(duì)?請(qǐng)說明理由;
(Ⅲ)若A0為0,1,記數(shù)列Ak中連續(xù)兩項(xiàng)都是0的數(shù)對(duì)個(gè)數(shù)為lk,k=1,2,3,…求lk關(guān)于k的表達(dá)式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

20.(本小題共13分)

對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列

對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列

又定義

設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令

(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列;

(Ⅱ)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明

(Ⅲ)證明對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年北京市西城區(qū)高三4月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題

對(duì)于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且.這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”,得到數(shù)列,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束.

(Ⅰ)試問經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;

(Ⅱ)設(shè),.若,且的各項(xiàng)之和為

(。┣,;

(ⅱ)若數(shù)列再經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小,求的最小值,并說明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案