對(duì)于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且,這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”,得到數(shù)列,…,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束.
(Ⅰ)試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件;
(Ⅲ)證明:一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束.
(Ⅰ)解:數(shù)列不能結(jié)束,各數(shù)列依次為;;;;;;….從而以下重復(fù)出現(xiàn),不會(huì)出現(xiàn)所有項(xiàng)均為的情形. ……2分
數(shù)列能結(jié)束,各數(shù)列依次為;;;.
……………3分
(Ⅱ)解:經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是.……4分
若,則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列,從而結(jié)束.……5分
當(dāng)數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束時(shí),先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列,則為常數(shù)列”.
當(dāng)時(shí),數(shù)列.
由數(shù)列為常數(shù)列得,解得,從而數(shù)列也為常數(shù)列.
其它情形同理,得證.
在數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束時(shí),得到數(shù)列(常數(shù)列),由以上命題,它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列,可知數(shù)列也為常數(shù)列. ………8分
所以,數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件是.
(Ⅲ)證明:先證明引理:“數(shù)列的最大項(xiàng)一定不大于數(shù)列的最大項(xiàng),其中”.
證明:記數(shù)列中最大項(xiàng)為,則.
令,,其中.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052601234543342979/SYS201205260126050115370390_DA.files/image029.png">, 所以,
故,證畢. ……………9分
現(xiàn)將數(shù)列分為兩類.
第一類是沒有為的項(xiàng),或者為的項(xiàng)與最大項(xiàng)不相鄰(規(guī)定首項(xiàng)與末項(xiàng)相鄰),此時(shí)由引理可知,.
第二類是含有為的項(xiàng),且與最大項(xiàng)相鄰,此時(shí).
下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”,一定可以得到第一類數(shù)列.
不妨令數(shù)列的第一項(xiàng)為,第二項(xiàng)最大().(其它情形同理)
① 當(dāng)數(shù)列中只有一項(xiàng)為時(shí),
若(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列;
若,則;此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列;
若(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列;
若,則;;,
此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列.
② 當(dāng)數(shù)列中有兩項(xiàng)為時(shí),若(),則,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列;
若(),則,,此數(shù)列各項(xiàng)均不為或含有項(xiàng)但與最大項(xiàng)不相鄰,為第一類數(shù)列.
③ 當(dāng)數(shù)列中有三項(xiàng)為時(shí),只能是,則,
,,此數(shù)列各項(xiàng)均不為,為第一類數(shù)列.
總之,第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”,就會(huì)得到第一類數(shù)列,即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”,數(shù)列的最大項(xiàng)又開始減少.
又因?yàn)楦鲾?shù)列的最大項(xiàng)是非負(fù)整數(shù),
故經(jīng)過有限次“變換”后,數(shù)列的最大項(xiàng)一定會(huì)為,此時(shí)數(shù)列的各項(xiàng)均為,從而結(jié)束. ………………13分
【解析】略
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
20.(本小題共13分)
對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列
.
對(duì)于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列;
又定義.
設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令.
(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列;
(Ⅱ)對(duì)于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明;
(Ⅲ)證明對(duì)于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年北京市西城區(qū)高三4月第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)(解析版) 題型:解答題
對(duì)于數(shù)列,定義“變換”:將數(shù)列變換成數(shù)列,其中,且.這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”,得到數(shù)列,依此類推,當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束.
(Ⅰ)試問經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束?若能,請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列;若不能,說明理由;
(Ⅱ)設(shè),.若,且的各項(xiàng)之和為.
(。┣,;
(ⅱ)若數(shù)列再經(jīng)過次“變換”得到的數(shù)列各項(xiàng)之和最小,求的最小值,并說明理由.
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