Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，直線L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），設(shè)直線L與圓C的交點(diǎn)為A，B，當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：將（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R轉(zhuǎn)化為（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，利用

x+y-4=0 2x+y-7=0

即可確定所過(guò)的定點(diǎn)D（3，1），當(dāng)AB⊥CD（此時(shí)該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，從而可求△ABC的面積．

解答： 解：由（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R得：（x+y-4）+m（2x+y-7）=0，
∵m∈R，
∴

x+y-4=0 2x+y-7=0

得

x=3 y=1

，
故l恒過(guò)定點(diǎn)D（3，1）
∵弦長(zhǎng)的一半、該弦弦心距、圓的半徑構(gòu)成一個(gè)直角三角形，
∴當(dāng)AB⊥CD（此時(shí)該弦弦心距最大），直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，
∵圓心C（1，2），
∴|CD|=

4+1

=

5

∴|AB|=

25-5

=2

5

，
∴當(dāng)直線L被圓C截得的弦最短時(shí)，△ABC的面積

1

2

•2

5

•

5

=5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系及恒過(guò)定點(diǎn)的直線，考查三角形面積的計(jì)算，確定l恒過(guò)定點(diǎn)是關(guān)鍵．