Question

15．已知f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），給出下列命題：
①f（2014）+f（-2015）=0；            
②函數(shù)f（x）在定義域上是周期為2的函數(shù)；
③直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有2個(gè)交點(diǎn)；
④函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
其中正確的是（　�。�

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根據(jù)已知中函數(shù)的奇偶性，及當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），畫出函數(shù)的圖象，逐一分析四個(gè)結(jié)論的真假，可得答案．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的偶函數(shù)，
且當(dāng)x≥0時(shí)，有f（x+1）=-f（x），
且當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f（x）=log₂（x+1），
故函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2014）+f（-2015）=0+0=0，故①正確；
函數(shù)f（x）在定義域上不是周期函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
直線y=x與函數(shù)f（x）的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；
函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1），故④正確；
故正確的命題序號(hào)有：①④
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，其中根據(jù)已知畫出滿足條件的函數(shù)圖象是解答的關(guān)鍵．