Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1處取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，依題意，f'（1）=f'（-1）=0，解出即可．
（Ⅱ）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．利用導(dǎo)數(shù)研究其在區(qū)間[-2，2]的單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2bx-3，
依題意，f'（1）=f'（-1）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b-3=0}\\{3a-2b-3=0}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=0．
（Ⅱ）f（x）=x³-3x，f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）．
令f'（x）=0，得x=-1，x=1．
若x∈[-2，-1）∪（1，2]，則f'（x）＞0，故f（x）在[-2，-1），（1，2）上是增函數(shù)，
若x∈（-1，1），則f'（x）＜0，故f（x）在（-1，1）上是減函數(shù)．
∴f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值；
又f（2）=2，f（-2）=-2．
∴最大值為2，最小值為-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．