Question

7．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)（非長(zhǎng)軸端點(diǎn)），AF₁的延長(zhǎng)線與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線與橢圓交于C點(diǎn)，若△ABC面積為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求直線AB的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，短軸長(zhǎng)為2．可得a，b，即可寫(xiě)出方程；
（Ⅱ）①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨取A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），不符合題意．
②當(dāng)直線 l斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化簡(jiǎn)得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得|AB|=$\sqrt{（1{+k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$
 點(diǎn)O到直線kx-y-k=0的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，△ABC面積為s=$\frac{1}{2}$|AB|×2d=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得直線AB的方程

解答 解：（Ⅰ）由題意得2b=2，∴b=1，

∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{1}$，a²=b²+c²，∴a=$\sqrt{2}$，c=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）①當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，不妨取A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），C（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴△ABC面積為S=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，不符合題意．
②當(dāng)直線 l斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB：y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$化簡(jiǎn)得 （2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1{+k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$2\sqrt{2}\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}$
∵點(diǎn)O到直線kx-y-k=0的距離d=$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
又O是線段AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)C到直線AB的距離2d=2×$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$
∴△ABC面積為s=$\frac{1}{2}$|AB|×2d=2$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{2{k}^{2}+1}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴4k⁴+4k²-3=0，解得${k}^{2}=\frac{1}{2}$，k=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴直線AB的方程為y=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（x-1）或y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}（x-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式、面積計(jì)算，運(yùn)算能力，屬于中檔題．