Question

15．已知曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后可得到曲線C₂：y²-x²=2，
（Ⅰ）求由曲線C₁變換到曲線C₂對(duì)應(yīng)的矩陣M₁；
（Ⅱ）若矩陣M₂=$[\begin{array}{l}{2}&{0}\\{0}&{3}\end{array}]$，求曲線C₁依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對(duì)應(yīng)的變換T₁，T₂變換后得到的曲線方程．

Answer 1

分析 （I）因?yàn)榘亚�線C₁逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角，得到曲線C₂，則旋轉(zhuǎn)變換矩陣為M₁=$[\begin{array}{l}{cos45°}&{-sin45°}\\{sin45°}&{cos45°}\end{array}]$．
（II）先求出依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對(duì)應(yīng)的變換T₁，T₂對(duì)應(yīng)的矩陣，再設(shè)曲線C1上任一點(diǎn)經(jīng)過變換后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，用變換后的坐標(biāo)表示變換前的坐標(biāo)，再代入變換前曲線滿足的方程，化簡(jiǎn)即得變換后的曲線方程．

解答 解：（I）∵曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到曲線C₂：y²-x²=2，
∴旋轉(zhuǎn)變換矩陣M₁=$[\begin{array}{l}{cos45°}&{-sin45°}\\{sin45°}&{cos45°}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$；
（II）設(shè)依次經(jīng)過矩陣M₁，M₂對(duì)應(yīng)的變換T₁，T₂對(duì)應(yīng)的矩陣M=M₂M1=$[\begin{array}{l}{\sqrt{2}}&{-\sqrt{2}}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}}&{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}]$
任取曲線C₁：y=$\frac{1}{x}$上的一點(diǎn)P（x，y），它在變換T_M作用下變成點(diǎn)P′（x′，y′），則有$\left\{\begin{array}{l}{x′=\sqrt{2}x-\sqrt{2}y}\\{y′=\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3x′+2y′}{6\sqrt{2}}}\\{y=\frac{2y′-3x′}{6\sqrt{2}}}\end{array}\right.$
又點(diǎn)P在C₁：y=$\frac{1}{x}$上，得到$\frac{y{′}^{2}}{18}-\frac{x{′}^{2}}{8}$=1，即$\frac{{y}^{2}}{18}-\frac{{x}^{2}}{8}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了曲線的旋轉(zhuǎn)變換矩陣的求法以及根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換求曲線方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力．