Question

3．如圖所示是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，A，B，C均為棱的中點(diǎn)，D是頂點(diǎn)，則在正方體中，異面直線AB和CD的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 建立空間坐標(biāo)系，分別求出兩條異面直線的方向向量，利用向量的夾角公式即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間坐標(biāo)坐標(biāo)系．

取正方體的棱長(zhǎng)為2．
則B（1，2，0），A（2，2，1），D（2，0，2），C（2，1，0）．
∴$\overrightarrow{BA}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CD}$=（0，-1，2）．
∴cos＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{|\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{CD}|}{\left|\overrightarrow{BA}\right|•\left|\overrightarrow{CD}\right|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線AB和CD的夾角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了建立空間直角坐標(biāo)系并利用向量的夾角公式求異面直線的夾角方法，屬于基礎(chǔ)題．