Question

已知關(guān)于AC的函數(shù)f（x）=x|x-2a|-4x，x∈[2，6]．
（1）當a=2時，求f（x）的單調(diào)性；
（2）當a≥1時，求f（x）的最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）去絕對值再討論單調(diào)性，（2）討論求最值．

解答： 解：（1）當a=2時，f（x）=x|x-4|-4x=

-x2，x∈[2，4] x2-8x，x∈(4，6]

，
則f（x）在[2，4]上單調(diào)遞減，在（4，6]上單調(diào)增．
（2）①當a=1時，f（x）=x²-6x=（x-3）²-9，
則f（x）_max=f（6）=0；
②當1＜a＜3時，f（x）=

-x2+2(a-2)x，x∈[2，2a] x2-2(a+2)x，x∈[2a，6]

，
分析可知，f（x）的最大值為f（2）或f（6）；
∵f（2）-f（6）=16（a-

3

2

）；
則當1＜a≤

3

2

時，f（x）_max=f（6）=-12（a-1）；
當

3

2

＜a＜3時，f（x）_max=f（2）=4a-12；
③當a≥3時，f（x）=-x²+（2a-4）x，
當3≤a≤6時，f（x）_max=f（2）=4a-12；
當a＞6時，f（x）_max=f（6）=12a-50．
綜上所述，f（x）_max=

-12(a-1)，1≤a≤ 3 2 4a-12， 3 2 ＜a≤6 12a-50，a＞6

．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與最值，同時考查了分類討論的思想，屬于難題．