Question

已知函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）（ω＞0），且函數(shù)y=f（x）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f（x）的對(duì)稱中心；
（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x），根據(jù)題意求出ω以及f（x），即可求出對(duì)稱中心；
（Ⅱ）由f（x）是三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，求出它的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²ωx+

3

cosωx•cos（

π

2

-ωx）
=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx
=sin（2ωx-

π

6

）+

1

2

，
∴根據(jù)題意

T

2

=

π

2

，即T=π，
∴

2π

2ω

=π，即ω=1；
∴f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

；…（4分）
令2x-

π

6

=kπ，則x=

kπ

2

+

π

12

，
∴對(duì)稱中心為(

kπ

2

+

π

12

，0)(k∈Z)；…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，
∴2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）；
即x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

](k∈Z)時(shí)，f（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；…（8分）
又∵x∈[0，π]，
∴k=0時(shí)，x∈[0，

π

3

]，k=1時(shí)，x∈[

5π

6

，π]；
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，考查了三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性以及單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目．