Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，其圖象在x=1處的切線平行于直線6x+2y+5=0，求函數(shù)f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，可知x=2為f′（x）=0的根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有k=f′（x）|_x=1，列出關(guān)于a，b的方程組，求解可得到y(tǒng)的解析式；

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c，
∴f′（x）=3x²+6ax+3b，
∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=f′（x）|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②，解得a=-1，b=0，
∴函數(shù)f（x）=x³-3x²+c，
函數(shù)f（x）的解析式：f（x）=x³-3x²+c．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．