Question

如圖，在棱長均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D為BC的中點．
（1）求證：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求C₁C與平面AC₁D所成角的余弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：計算題,證明題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連接A1C，交AC₁于O，連接OD，運用中位線定理，以及直線和平面平行的判定定理，即可得證；
（2）過C作CM⊥平面AC₁D，垂足為M，連接MC₁，則∠MC₁C即為求C₁C與平面AC₁D所成角．設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2a，CM=d，運用等積法，即VC-C1DA=VC1-ACD，運用棱錐體積公式，計算可得d，再由解直角三角形MC₁C，即可得到．

解答： （1）證明：連接A₁C，交AC₁于O，連接OD，
由于OD是△A₁BC的中位線，則OD∥A₁B，
又OD?平面面AC₁D，A₁B?平面AC₁D，
則有A₁B∥平面AC₁D；
（2）解：過C作CM⊥平面AC₁D，垂足為M，連接MC₁，
則∠MC₁C即為求C₁C與平面AC₁D所成角．
設正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長為2a，CM=d，
則C₁D=

4a2+a2

=

5

a，AD=

3

2

×2a=

3

a，
AC₁=2

2

a，由AC₁²=C₁D²+AD²，即有AD⊥C₁D，
△ADC₁的面積為

1

2

×

3

a•

5a

=

15

2

a²，
由VC-C1DA=VC1-ACD，可得，

1

3

d•S△C1DA=

1

3

•2a•

1

2

•

3

4

•(2a)2
即有

1

3

d•

15

2

a²=

3

3

a³，解得，d=

2 5

5

a．
則cos∠MC₁C=

C1M

CC1

=

4a2- 4a2 5

2a

=

2 5

5

．
即有C₁C與平面AC₁D所成角的余弦值

2 5

5

．

點評：本題考查線面平行的判定定理，考查線面垂直的判定和性質，考查空間線面所成的角的求法，注意運用體積轉換法，屬于中檔題．