Question

設數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=2，對任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項．
（1）設b_n=a_n+1-a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求出其通項公式；
（2）寫出數(shù)列{a_n}的通項公式（不要求計算過程），求數(shù)列{a_n}中的最大項．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項，可得2a_n+2=a_n+1+a_n，整理可得a_n+2-a_n=-（a_n+1-a_n），利用b_n=a_n+1-a_n，可得數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為-的等比數(shù)列，從而可求通項公式；
（2）利用疊加法可求數(shù)列{a_n}的通項公式，由（1），b_n=a_n+1-a_n=，可得當n為偶數(shù)時，a_n+1＜a_n；當n為奇數(shù)時，a_n+1＞a_n，于是可得數(shù)列{a_n}中的最大項必在數(shù)列的偶數(shù)項中產(chǎn)生，確定數(shù)列{a_2n}為單調遞減數(shù)列，即可求得數(shù)列{a_n}中的最大項．
解答：（1）證明：∵a_n+2是a_n+1與a_n的等差中項
∴2a_n+2=a_n+1+a_n，
∴a_n+2-a_n=-（a_n+1-a_n）
∵b_n=a_n+1-a_n，∴b_n+1=-b_n，
∵b₁=a₂-a₁，a₁=1，a₂=2，
∴b₁=1，∴數(shù)列{b_n}是首項為1，公比為-的等比數(shù)列，
∴b_n=；
（2）解：∵a_n=a₁+（a₂-a₁）+…+（a_n-a_n-1）=1+b₁+…+b_n-1=1+=
由（1），b_n=a_n+1-a_n=
∴當n為偶數(shù)時，a_n+1-a_n＜0，∴a_n+1＜a_n；當n為奇數(shù)時，a_n+1-a_n＞0，∴a_n+1＞a_n，
于是可得數(shù)列{a_n}中的最大項必在數(shù)列的偶數(shù)項中產(chǎn)生
∵a_2n+2-a_2n=×＜0
∴a_2n+2＜a_2n，
∴數(shù)列{a_2n}為單調遞減數(shù)列
∴數(shù)列{a_n}中的最大項為=2．
點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調性，正確確定數(shù)列的通項是關鍵．